Course Progress
Part of 10 Chapters
Chapter 8
リスク理論 (Ruin Theory)：破産の数学的確率
#破産確率#剰余金プロセス#安全割増#ルンドベリ不等式
リスク理論：保険会社はいつ潰れるのか？
保険会社は、将来の不確実な事故を担保にビジネスを行っています。もし特定の時期に、事故が予想を遥かに超えて発生し、保有しているお金（剰余金）が底をついてしまったらどうなるでしょうか？ これを研究する学問が、まさに 破産理論 (Ruin Theory) です。
1. 剰余金プロセス (Surplus Process)
保険会社の資金は、時間の経過とともに以下のようなロジックで変化します。
1
初期資本金 ($u$)事業開始時に保有している基礎体力です。
2
保険料の流入 ($ct$)時間の経過とともに、一定のキャッシュが入ってきます。
3
事故の発生と保険金の支払い ($S_t$)不規則なタイミングで、不規則な金額が出ていきます。
4
最終剰余金の確認剰余金が 0 以下になった瞬間を「破産」と定義します。
2. 破産確率 () に影響を与える要素
破産確率は単なる「運」ではなく、保険会社がどのような経営戦略を立てるかにかかっています。
- 初期剰余金 (): 最初に持っているお金が多いほど、破産確率は指数関数的に低下します。
- 安全指数 (): 予想される損害よりも、どれだけ上乗せして保険料を受け取っているか（マージン）を意味します。
- 支払備金の変動性: 1件あたりの損害額のバラツキが大きいほど、破産リスクは高まります。
3. 実践分析：資本金規模と破産率の関係
下の表は、同一のリスク環境下で初期資本金 () を増やした場合に、破産確率 () がどのように変化するかを示しています。
初期資本金に対する破産確率のシミュレーション
| 初期資本金 | 安全指数 (θ) | 推定破産確率 (ψ) | リスクレベル |
|---|---|---|---|
| 10 | 10% | 0.354 | 極めて高い |
| 50 | 10% | 0.122 | 注意 |
| 100 | 10% | 0.045 | 普通（安全圏） |
| 200 | 10% | 0.008 | 非常に低い |
| 500 | 10% | 0.0001 | 極めて低い |
💡 教授からのヒント
破産理論は、保険会社の「支払余力比率 (Solvency Ratio)」を決定する根底となります。よく耳にする RBC比率や K-ICS といった規制は、結局のところ「会社が破産する確率を一定水準以下に管理できているか？」をチェックするための仕掛けなのです。