블랙-숄즈 모형: 옵션 pricing의 혁명

1973년 피셔 블랙과 마이런 숄즈가 발표한 이 모형은 “복잡한 권리에 얼마를 지불하는 것이 공정한가?”라는 질문에 대한 수학적 해답을 제시했습니다.

1. 모형의 핵심 아이디어: 무위험 포트폴리오

블랙-숄즈 모형의 근간은 **복제(Replication)**입니다. 옵션과 주식을 적절한 비율로 섞으면 주가가 어떻게 움직이든 가치가 변하지 않는 ‘무위험 포트폴리오’를 만들 수 있으며, 이 포트폴리오의 수익률은 반드시 무위험 이자율( $r$ )과 같아야 한다는 논리입니다.

2. 옵션 가격을 결정하는 5대 변수

블랙-숄즈 공식에서 옵션 가격( $C$ 또는 $P$ )은 다음 다섯 가지 변수에 의해 결정됩니다.

옵션 가격 결정 변수와 영향도

변수	의미	콜 옵션 영향	풋 옵션 영향
주가 (S)	기초자산의 현재 가격	상승 (+)	하락 (-)
행사가 (K)	미리 정한 권리 행사 가격	하락 (-)	상승 (+)
잔존 기간 (T)	만기까지 남은 시간	상승 (+)	상승 (+)
변동성 (σ)	주가의 출렁임 정도	상승 (+)	상승 (+)
이자율 (r)	무위험 시장 금리	상승 (+)	하락 (-)

3. 가격 산출의 논리적 흐름

블랙-숄즈 가격은 다음과 같은 확률적 과정을 거쳐 도출됩니다.

로그정규분포 가정

주가의 로그 수익률이 정규분포를 따른다고 가정합니다.

d1, d2 산출

기초자산과 행사가격의 관계를 표준화된 수치로 변환합니다.

누적확률분포 적용

표준정규분포표를 이용해 권리 행사 확률을 구합니다.

현재가치 할인

미리 정해진 행사가격을 현재 가치로 끌어옵니다.

💡 교수님의 팁

‘변동성( $\sigma$ )‘은 옵션 가격 결정 변수 중 유일하게 시장에서 눈으로 확인할 수 없는 값입니다. 그래서 우리는 현재 시장의 옵션 가격을 블랙-숄즈 공식에 거꾸로 넣어 ‘내재 변동성(Implied Volatility)‘을 추출해내기도 합니다. 이것이 바로 공포지수(VIX)의 핵심입니다.

블랙-숄즈 모형: 옵션 가격의 정석